Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Paso 2.4

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Paso 2.4.2

Factoriza $e^{r x}$ de $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Paso 2.4.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Paso 2.5

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $4$ de $4 e^{- x} + 4$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Paso 3.3.2

Reescribe $4 (e^{- x} + 1)$ como $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

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Paso 3.3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Paso 3.3.3

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Paso 3.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$