Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x = 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 5 - 2 x$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (5 - 2 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5 - 2 x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 - 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 5 x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = 5 x - x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - x^{2} + 5 x + K$