Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $0$ .

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Paso 4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

Paso 4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$