Cálculo Ejemplos

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $y^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y + y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Paso 3.4.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 y = y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- y^{2}$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y$ de $y - (- 2 y)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \cdot 3$ .

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{- y}$

Paso 5.3.4

Sustituye $- y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.5

Factoriza $y$ de $x y + y^{2}$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Paso 7.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Paso 7.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Paso 9.2

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x}{y} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.5.2

Combina $x$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 12.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Resta $\frac{x + y}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Resta $y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.6.1

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 13.1.1.6.1.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.6.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Paso 13.1.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Paso 13.1.2

Suma $\frac{1}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 14.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$