Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - 1) x d x + (x^{2} + 3) y d y = 0$

Paso 1

Resta $(y^{2} - 1) x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} + 3) y d y = - (y^{2} - 1) x d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 3$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) (y)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{y^{2} - 1}$ y $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y^{2} - 1$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ al numerador.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y^{2} - 1$ de $(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.5.3

Factoriza $y^{2} - 1$ de $(y^{2} - 1) x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) (x)) d x$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Paso 3.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 3} x d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 1}{x^{2} + 3}$ y $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y + 1$ y $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.4.2

Multiplica $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 4.2.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 4.2.1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Paso 4.2.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.2

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.3

Suma $y$ y $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Paso 4.2.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.1.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Paso 4.2.1.1.3.8.4.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = x^{2} + 3$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.3.2.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $\ln (| x^{2} + 3 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2$

Paso 5.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} + 3 |) = 2 C$

Paso 5.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} + 3 |) = 2 C$

Paso 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Paso 5.6

Expande $(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} (x^{2} + 3) - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Paso 5.7.2

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Paso 5.7.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$

Paso 5.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |)} = e^{2 C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |$

Paso 5.10

Resuelve $y$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$

Paso 5.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 = \pm e^{2 C}$

Paso 5.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.10.3.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - 3 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

Paso 5.10.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Paso 5.10.4

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Paso 5.10.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Paso 5.10.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3 = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Paso 5.10.4.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Paso 5.10.5

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ por $x^{2} + 3$ y simplifica.

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Paso 5.10.5.1

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ por $x^{2} + 3$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 3$ .

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Paso 5.10.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.5.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.10.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$

Paso 5.10.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ .

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Paso 5.10.7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 5.10.7.2

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 5.10.7.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.10.7.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 5.10.7.3.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} \sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 5.10.7.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 3}}^{1}}$

Paso 5.10.7.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.10.7.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}}$

Paso 5.10.7.3.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}$ como $x^{2} + 3$ .

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Paso 5.10.7.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 3}$ como ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.10.7.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.10.7.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.7.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.10.7.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.7.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{1}}$

Paso 5.10.7.3.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{x^{2} + 3}$

Paso 5.10.7.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$