Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $1 - x$ de $(1 + t) (1 - x)$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| 1 - x |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ como $- (\frac{1}{2} t^{2})$ .

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot t$ como $- t$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.7

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Paso 3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Paso 3.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Para escribir $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.2

Para escribir $\frac{- 1}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.3.3.1

Multiplica $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.3

Multiplica $\frac{- 1}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Paso 3.4.4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.2

Reescribe $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ como $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.6

Divide $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ por $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ como $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Paso 4.3

Reordena $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ y $e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$