Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d P = 2 e^{3 t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 t$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$