Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y$ , $y (0) = \frac{1}{3}$

Paso 1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Paso 7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 7.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 7.10

Reescribe $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 8.1.2

Elimina los paréntesis.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{3 x}$ de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{3 x}$ de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{3 x}$ de $- \frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{3 x}$ de $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.3

Para escribir $\frac{x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.1.1.4.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.7

Combina exponentes.

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Paso 8.2.3.1.1.7.1

Combina $\frac{3 x - 1}{9}$ y $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.7.2

Combina $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ y $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.1.8

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.4

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2

Para escribir $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.3

Para escribir $\frac{C}{e^{3 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 8.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 e^{3 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.4.1

Multiplica $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 8.2.3.4.2

Multiplica $\frac{C}{e^{3 x}}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Paso 8.2.3.4.3

Reordena los factores de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.5

Mueve $9$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $\frac{1}{3}$ por $y$ en $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 0 e^{3 \cdot 0} - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$

Paso 10.2

Multiplica ambos lados por $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.1.1

Simplifica $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

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Paso 10.3.1.1.1

Cancela el factor común de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

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Paso 10.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$6 \cdot (0 e^{0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$6 \cdot (0 \cdot 1) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.3

Multiplica $6 (0 \cdot 1)$ .

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Paso 10.3.1.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$6 \cdot 0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.3.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 2 e^{0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.2.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1.1.3.1

Resta $2$ de $0$ .

$- 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.1.1.3.2

Reordena $- 2$ y $9 C$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Paso 10.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica $\frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

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Paso 10.3.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Paso 10.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Paso 10.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$9 C - 2 = 3 e^{3 \cdot 0}$

Paso 10.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$9 C - 2 = 3 e^{0}$

Paso 10.3.2.1.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$9 C - 2 = 3 \cdot 1$

Paso 10.3.2.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$9 C - 2 = 3$

Paso 10.4

Resuelve $C$

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Paso 10.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.4.1.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$9 C = 3 + 2$

Paso 10.4.1.2

Suma $3$ y $2$ .

$9 C = 5$

Paso 10.4.2

Divide cada término en $9 C = 5$ por $9$ y simplifica.

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Paso 10.4.2.1

Divide cada término en $9 C = 5$ por $9$ .

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Paso 10.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Paso 10.4.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{5}{9}$

Paso 11

Sustituye $\frac{5}{9}$ por $C$ en $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $\frac{5}{9}$ por $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 5}{9 e^{3 x}}$

Paso 11.2.2

Reordena los términos.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Paso 11.3

Reordena los factores en $y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$