Cálculo Ejemplos

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{8}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{2}{3}$ y $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{2 K}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2 K}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $16 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

Paso 3.4.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $2 (8 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

Paso 3.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

Paso 3.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$