Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 2.2

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

Paso 3.4.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 6 x$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x = 6 x$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $6 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- 2 x y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 2 x y$ por $M$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x$ de $6 x - (- 2 x)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

Paso 5.3.2.3

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{- 2 y}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $8$ y $- 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{- y}$

Paso 5.3.5

Sustituye $- 2 x y$ por $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 4 \ln (| y |)$ al mover $- 4$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- 2 x y$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4

Combina $x$ y $\frac{- 2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $3 x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Paso 7.8

Multiplica $3 x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Paso 9.2

Dado que $\frac{2}{y^{3}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{y^{3}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

Paso 9.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.5.1

Reescribe $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9.5.2

Simplifica.

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Paso 9.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Paso 9.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Paso 9.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

Paso 9.5.2.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ con respecto a $y$ es $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{3}}$ como ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{3}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{3}$ .

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{3}$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.7

Multiplica $y^{- 6}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.3.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.5.2

Combina los términos.

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Paso 12.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{y^{4}}$ .

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.5.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 12.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Resta $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Resta $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Suma $0$ y $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.6

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y^{4}$ .

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Paso 13.1.1.6.1

Factoriza $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.6.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{2}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{2}{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Paso 14.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 14.6

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 14.7

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 14.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 14.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Paso 14.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Paso 14.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.9.1

Reescribe $- 2 (- y^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 14.9.2

Simplifica.

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Paso 14.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Paso 14.9.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$