Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ por $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Paso 1.3

Combina $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ y $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Paso 1.4

Combina $y$ y $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

Paso 1.5

Combina $x$ y $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

Paso 1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

Paso 1.8

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.9

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.9.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.10

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.1

Factoriza $x$ de $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.11

Reordena $y$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.12

Factoriza $y$ de $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

Paso 1.13

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Paso 7.2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Paso 7.3

Reescribe $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ como $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.3

Reordena los factores en $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.4

Mueve $x^{2} \cos (x)$ .

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

Paso 8.3.2.1.5

Reordena $x^{3} \sin (x)$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$