Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 4$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{4 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{4 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 6.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Paso 6.5

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.5.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.5.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 6.5.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Paso 6.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Paso 6.8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Paso 6.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Paso 6.10

Reescribe $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 6.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Paso 6.12

Simplifica.

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Paso 6.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.12.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Paso 6.12.1.2

Combina $\frac{x}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Paso 6.12.1.3

Combina $e^{4 x}$ y $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Paso 6.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Paso 6.12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Paso 6.12.3.2

Cancela el factor común.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Paso 6.12.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Paso 6.12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{4 x}}{16}$ al numerador.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Paso 6.12.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Paso 6.12.4.3

Cancela el factor común.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Paso 6.12.4.4

Reescribe la expresión.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Paso 6.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Paso 6.13

Reordena los términos.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Divide $- \frac{1}{8}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.2

Resta $\frac{1}{8}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Paso 7.3.2.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.2.2

Para escribir $x \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.2.3

Combina $x \frac{1}{2}$ y $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.4

Para escribir $\frac{4 x - 1}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.3.5

Para escribir $\frac{C}{e^{4 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 7.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $8 e^{4 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.6.1

Multiplica $\frac{4 x - 1}{8}$ por $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 7.3.6.2

Multiplica $\frac{C}{e^{4 x}}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Paso 7.3.6.3

Reordena los factores de $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Paso 7.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Paso 7.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Paso 7.3.8.2

Reescribe $- 1 e^{4 x}$ como $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Paso 7.3.8.3

Mueve $8$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$