Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Paso 1

Sea $v = e^{x - t}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x - t}$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d t}$ mediante la diferenciación de $e^{x - t}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = x - t$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x - t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d t}$

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Paso 5.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.3.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Paso 5.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica $(v - 1) v$ .

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Paso 5.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.3.2.1.2.1

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2.2

Reescribe $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $v^{2} - v$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $v$ de $v^{2} - v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $v$ de $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $v$ de $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $v - 1$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.1.2

Divide $A (v - 1)$ por $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.5

Cancela el factor común de $v - 1$ .

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Paso 6.2.1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Paso 6.2.1.1.6.5.2

Divide $B v$ por $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Paso 6.2.1.1.7

Mueve $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 1 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.1.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = - 1$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = - 1$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Paso 6.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.5

Sea $u_{2} = v - 1$ . Entonces $d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.5.1

Deja $u_{2} = v - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.5.1.1

Diferencia $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Paso 6.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Paso 6.2.7

Simplifica.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Paso 6.2.8

Reordena los términos.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Paso 7.2

Reordena $t$ y $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Paso 7.3

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Paso 7.4

Reescribe $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Paso 7.5

Resuelve $v$

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Paso 7.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Paso 7.5.2

Multiplica ambos lados por $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Paso 7.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.3.1

Cancela el factor común de $| v |$ .

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Paso 7.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Paso 7.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Paso 7.5.4

Resuelve $v$

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Paso 7.5.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Paso 7.5.4.2

Divide cada término en $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + t}$ y simplifica.

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Paso 7.5.4.2.1

Divide cada término en $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Paso 7.5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{C + t}$ .

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Paso 7.5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Paso 7.5.4.2.2.1.2

Divide $| v |$ por $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Paso 7.5.4.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Paso 8.3

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{x - t})$ ; para ello, mueve $x - t$ fuera del logaritmo.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Paso 10.2.3

Multiplica $x - t$ por $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Paso 10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Paso 10.4

Suma $t$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Paso 11

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 11.1

Reordena los términos.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Paso 11.2

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Paso 11.3

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$