Cálculo Ejemplos

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{x}$ con respecto a $y$ es $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $2 e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y + e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y + e^{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Paso 5.3

Dado que $2 x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Paso 5.6.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 8.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.4.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 8.6.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Paso 9.1.2

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Paso 9.1.3.2

Suma $y e^{x} + 2 e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Paso 9.1.3.3

Resta $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $2 e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Paso 10.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Paso 10.5

Simplifica.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$