Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 1.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Paso 1.5

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Paso 1.6.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 y$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $2 y$ por $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2 y + 0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Paso 4.3.2.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Paso 4.3.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Paso 4.3.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Paso 4.3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 0}{y}$

Paso 4.3.3

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{y}{y}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ por el factor integrador $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $x^{2} + y^{2} + 2 x$ por $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 y$ por $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 y e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Dado que $2 e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 e^{x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Reescribe $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $\frac{2}{2}$ y $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{x} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 11.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Resta $y^{2} e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Resta $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.8

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 13.9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Paso 13.10

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 13.11

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Paso 13.12

Simplifica.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Paso 15.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Paso 15.2

Combina los términos opuestos en $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Suma $- 2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Paso 15.2.2

Suma $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ y $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Paso 15.2.3

Resta $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Paso 15.2.4

Suma $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Paso 15.3

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$