Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Paso 1.6

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + x + e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.4.2

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Paso 2.4.3

Suma $2 y + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{3} x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Paso 8.4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $0$ y $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Paso 9.1.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Paso 9.1.3.2

Suma $x + e^{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Paso 9.1.3.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Paso 9.1.3.4

Suma $0$ y $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $e^{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Paso 10.3

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Paso 12

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$