Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $2 y \cot (2 x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Paso 2.2

Integra $2 \cot (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Paso 2.2.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Paso 2.2.3

Combina $\cot (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.3

Multiplica $\int \cot (u) d u$ por $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.6

La integral de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sin (2 x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sin (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Mueve los paréntesis.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.2.2

Reordena $\sin (2 x)$ y $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.2.3

Agrega paréntesis.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.2.4

Reescribe $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.2.5

Cancela los factores comunes.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 7.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 7.7

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.7.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 7.8

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 7.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 7.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Paso 7.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Paso 7.11

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Paso 7.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.1

Reescribe $2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ como $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 7.12.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 7.12.2.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 7.12.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Paso 7.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Paso 7.14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 7.14.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.14.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ al numerador.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 7.14.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 7.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 7.14.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.14.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

Paso 7.14.3.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 7.14.3.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 7.14.4

Reordena los factores en $- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 7.15

Reordena los términos.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\sin (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.2

Convierte de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ a $\cot (2 x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.3

Divide $- x$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.4

Cancela el factor común de $\sin (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.4.2

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.5

Separa las fracciones.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Paso 8.3.1.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Paso 8.3.1.7

Divide $C$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$