Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 4 x \ln (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Paso 2.3.3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Paso 2.3.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.5.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 2.3.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 2.3.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

Paso 2.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

Paso 2.3.6.2

Reescribe $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ como $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

Paso 2.3.6.3

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$