Cálculo Ejemplos

$x d y + (y + 2 y x^{2} - 2 x) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y + 2 y x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y + 2 y x^{2} - 2 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2 y x^{2} - 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.4

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $1 + 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 1 = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x^{2} + 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $2 x^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 0}{x}$

Paso 5.3.2.2

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2}}{x}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{1}$

Paso 5.3.3.2.5

Divide $2 x$ por $1$ .

$2 x$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int 2 x d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 6.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1

Reescribe $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ como $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Paso 6.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y + 2 y x^{2} - 2 x$ por $e^{x^{2}}$ .

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) e^{x^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $x$ por $e^{x^{2}}$ .

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x e^{x^{2}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x e^{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y + g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x^{2}} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{x^{2}} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.3.11

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 12.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Paso 13.1.2

Resta $y e^{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Paso 13.1.3

Combina los términos opuestos en $y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ .

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Paso 13.1.3.1

Reordena los factores en los términos $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ y $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y - 2 x e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}}$

Paso 13.1.3.2

Resta $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ de $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}}$

Paso 13.1.3.3

Suma $y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Paso 13.1.3.4

Resta $y e^{x^{2}}$ de $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}} + 0$

Paso 13.1.3.5

Suma $- 2 x e^{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- 2 x e^{x^{2}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (x) = - 2 \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 14.4

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 14.4.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 14.4.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 14.4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 14.4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14.4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14.4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 14.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 14.4.1.4

Simplifica.

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Paso 14.4.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 14.4.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 14.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$g (x) = - 2 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 14.5

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Paso 14.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.6.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Paso 14.6.2

Simplifica.

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Paso 14.6.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} u_{2} + C$

Paso 14.6.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 14.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} u_{2} + C$

Paso 14.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u_{2} + C$

Paso 14.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u_{2} + C$

Paso 14.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{- 1}{1} u_{2} + C$

Paso 14.6.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (x) = - u_{2} + C$

Paso 14.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$g (x) = - e^{x^{2}} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$

Paso 16

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$