Cálculo Ejemplos

$(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$ por $10 + x^{10}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$ por $10 + x^{10}$ .

$\frac{(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{10}} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $10 + x^{10}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{10}} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y} \cdot \frac{1}{10 + x^{10}}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{x^{9}}{y}$ por $\frac{1}{10 + x^{10}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{9}}{10 + x^{10}} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{x^{9}}{10 + x^{10}}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{(10 + x^{10}) y}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y$ de $(10 + x^{10}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $x^{10}$ como ${(x^{10})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{9}}{10 + {(x^{10})}^{1}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = x^{10}$ . Entonces $d u_{1} = 10 x^{9} d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u_{1} = x^{9} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = x^{10}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$10 x^{9}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + u_{1}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{10 + u_{1}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(10 + u_{1}) \cdot 10} d u_{1}$

Paso 2.3.3.3

Mueve $10$ a la izquierda de $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 (10 + u_{1})} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int \frac{1}{10 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 2.3.5

Sea $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $10 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10 + u_{1}]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.5.1.3

Como $10$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $10$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + u_{1} |) + C_{2}$

Paso 2.3.8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $\ln (| 10 + x^{10} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + C \cdot \frac{10}{10})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{10}{10}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + \frac{C \cdot 10}{10})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{10}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{2 (5)}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{2 \cdot 5}$

Paso 3.2.2.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{5}$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $10$ a la izquierda de $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$ como $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 3.4.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 3.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 3.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5}$

Paso 3.4.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C) \cdot 5}}{5}$

Paso 3.4.5

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + C)}}{5}$