Cálculo Ejemplos

$\frac{d R}{d t} = \frac{60}{t^{2}}$ , $R (1) = 20$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d R = \frac{60}{t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d R = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$R + C_{1} = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $60$ es constante con respecto a $t$ , mueve $60$ fuera de la integral.

$R + C_{1} = 60 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$R + C_{1} = 60 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$R + C_{1} = 60 (- t^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $60 (- t^{- 1} + C_{2})$ como $60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$ .

$R + C_{1} = 60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $60$ .

$R + C_{1} = - 60 \frac{1}{t} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Combina $- 60$ y $\frac{1}{t}$ .

$R + C_{1} = \frac{- 60}{t} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$R + C_{1} = - \frac{60}{t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$R = - \frac{60}{t} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $20$ por $R$ en $R = - \frac{60}{t} + K$ .

$20 = - \frac{60}{1} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{60}{1} + K = 20$ .

$- \frac{60}{1} + K = 20$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Divide $60$ por $1$ .

$- 1 \cdot 60 + K = 20$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $60$ .

$- 60 + K = 20$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $60$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 20 + 60$

Paso 4.3.2

Suma $20$ y $60$ .

$K = 80$

Paso 5

Sustituye $80$ por $K$ en $R = - \frac{60}{t} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $80$ por $K$ .

$R = - \frac{60}{t} + 80$