Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 - y}$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $4 - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Factoriza $4 - y$ de $(5 - x) (4 - y)$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = 4 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = 4 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - y$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| 4 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $\frac{1}{2} x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5 x}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (5 x)$ como $- (5 x)$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.8

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Paso 3.4.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.1

Para escribir $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.2

Para escribir $\frac{- 4}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.3.1

Multiplica $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.3

Multiplica $\frac{- 4}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

Paso 3.4.4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.2

Reescribe $- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ como $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

Paso 3.4.4.3.6

Divide $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

Paso 4.2

Reescribe $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

Paso 4.3

Reordena $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ y $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$