Cálculo Ejemplos

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica.

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Paso 1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Paso 1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Paso 1.1.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ por $f x^{4}$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ por $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $f$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{f}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{f}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

Paso 2.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

Paso 2.3.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

Paso 2.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

Paso 2.3.4.5

Suma $1$ y $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Paso 2.3.8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.8.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

Paso 2.3.8.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

Paso 2.3.8.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

Paso 2.3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

Paso 2.3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

Paso 2.3.10.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

Paso 2.3.10.2

Reescribe $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ como $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

Paso 2.3.11

Reordena los términos.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$