Cálculo Ejemplos

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Reordena $e^{t}$ y $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Paso 6.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 t)$ y $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Paso 6.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Paso 6.5.2

Reordena $e^{t}$ y $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Paso 6.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 t)$ y $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Paso 6.7

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Paso 6.8

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.8.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Paso 6.9

Al resolver $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , obtenemos que $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Paso 6.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.10.1

Reescribe $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ como $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Paso 6.10.2

Simplifica.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ por $e^{t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $q$ por $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ por $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.4.3

Combina $\frac{8}{5}$ y $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $q$ en $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Simplifica $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Paso 9.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2.6

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.3

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Paso 9.2.1.4.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{4}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Paso 9.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 9.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Paso 9.3.4

Resta $4$ de $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Paso 10

Sustituye $\frac{1}{5}$ por $C$ en $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $\frac{1}{5}$ por $C$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Paso 10.2.2

Combinar.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$