Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 2 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $2 x$ de $6 x y - 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2 x$ de $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) - 2 x$

Paso 1.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) + 2 x (- 1)$

Paso 1.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (3 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y - 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 1} (2 x (3 y - 1))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Paso 1.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $3 y - 1$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $3 y - 1$ de $x (3 y - 1)$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 y - 1} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 y - 1} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 3 y - 1$ . Entonces $d u = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 3 y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) = x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |)) = 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| 3 y - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 3 y - 1 |)} = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + 3 C} = | 3 y - 1 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$ .

$| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 y - 1 = \pm e^{3 x^{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1}{3}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 1}{3}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{3 x^{2} + C}$ como $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 1}{3}$

Paso 4.3

Reordena $e^{3 x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 1}{3}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 1}{3}$