Cálculo Ejemplos

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Paso 1.1.1.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Paso 1.1.2.2

Suma $y x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ por $y$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Paso 1.2.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $1 + y$ de $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Paso 1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reordena $1$ y $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Divide $y$ por $y + 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Paso 2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Paso 2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Paso 2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Paso 2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.6

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.6.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.6.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.8

Simplifica.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$