Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{14 x y}{\ln^{10} (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = 14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{10} (y)}{y} (14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 \frac{\ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Paso 1.3.2

Combina $14$ y $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Paso 1.3.3

Combina $x$ y $\frac{y}{\ln^{10} (y)}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{10} (y)}$

Paso 1.3.4

Combinar.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $\ln^{10} (y)$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Paso 1.3.6.2

Divide $14 (x)$ por $1$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 (x)$

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = 14 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = \int 14 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = \ln (y)$ . Entonces $d u = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{10} d u = \int 14 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{10}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C_{1} = \int 14 x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (y)$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \int 14 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $14$ es constante con respecto a $x$ , mueve $14$ fuera de la integral.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $14$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{14}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $14$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{7}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 7 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) = 7 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $11$ .

$11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y)) = 11 (7 x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{11}$ y $\ln^{11} (y)$ .

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $11 (7 x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2}) + 11 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $7$ por $11$ .

$\ln^{11} (y) = 77 x^{2} + 11 K$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$

Paso 3.3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}} = y$

Paso 3.3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.3.4.1

Reescribe la ecuación como $y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Paso 3.3.4.2

Factoriza $11$ de $77 x^{2} + 11 K$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $11$ de $77 x^{2}$ .

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2}) + 11 K}}$

Paso 3.3.4.2.2

Factoriza $11$ de $11 (7 x^{2}) + 11 K$ .

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2} + K)}}$