Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Paso 1.1.2

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ por $1 + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y$ de $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| 1 + x^{2} |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | 1 + x^{2} |$