Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = t$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = t d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int t d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int t d t$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} t^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{t^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 t^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + 2 K}{2}}$

Paso 3.4.5

Combina $3$ y $\frac{t^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$

Paso 3.4.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.4.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.8.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.10.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.10.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + 2 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + K)}}{2}$