Cálculo Ejemplos

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Paso 1

Sea $v = e^{x + y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x + y}$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{x + y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Paso 4.2

Suma $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ y $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Paso 5

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Paso 5.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Paso 5.1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Paso 5.1.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.2.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.2.1.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Paso 5.1.2.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Factoriza $v^{2}$ de $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Paso 6

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Mueve $v^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Paso 6.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Paso 6.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Paso 6.2.3

Reescribe $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 7

Resuelve $v$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 7.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$v, 2, 1$

Paso 7.2.2

Como $v, 2, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $v^{1}$ .

Paso 7.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 7.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 7.2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 7.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 7.2.7

El MCM de $1, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 7.2.8

El factor para $v^{1}$ es $v$ en sí mismo.

$v^{1} = v$

$v$ ocurre $1$ vez.

Paso 7.2.9

El MCM de $v^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$v$

Paso 7.2.10

El MCM para $v, 2, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 v$

Paso 7.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 v$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común de $v$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v}$ al numerador.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.2.1.2

Factoriza $v$ de $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Paso 7.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Paso 7.3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Paso 7.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Paso 7.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Paso 7.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Paso 7.4.2

Factoriza $v$ de $x^{2} v + 2 K v$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Factoriza $v$ de $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Paso 7.4.2.2

Factoriza $v$ de $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Paso 7.4.2.3

Factoriza $v$ de $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Paso 7.4.3

Divide cada término en $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ por $x^{2} + 2 K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.3.1

Divide cada término en $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ por $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Paso 7.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Paso 7.4.3.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Paso 7.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Paso 8

Simplifica la constante de integración.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Paso 10

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{x + y})$ ; para ello, mueve $x + y$ fuera del logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Paso 10.2.3

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Paso 10.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$