Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $y x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x + y x$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + y$ de $x (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Paso 3.3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ .

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Paso 6.2.2

Divide $0$ por $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Paso 6.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Paso 6.2.4

Multiplica $C$ por $1$ .

$C - 1 = 0$

Paso 6.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $C$ en $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Paso 7.2

Multiplica $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$