Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d y}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- y + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- y}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- y}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Paso 3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.6

Sea $u_{1} = - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.6.1

Deja $u_{1} = - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 7.6.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 7.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 7.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.8

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Paso 7.9

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Paso 7.10

Sea $u_{2} = - y$ . Entonces $d u_{2} = - d y$ , de modo que $- d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.10.1

Deja $u_{2} = - y$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 7.10.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 7.10.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 7.10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.10.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7.12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.13

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.14

Simplifica.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.3.1

Resta $3 e^{- y}$ de $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.3.7.1

Reescribe $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ como $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Paso 8.3.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$