Cálculo Ejemplos

$(2 x + 2 y + 2) d x + (2 x - 2 y^{2} + 6) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 2 y + 2]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2 y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 1.2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + 0$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x - 2 y^{2} + 6$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 2 y^{2} + 6]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2 y^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + 0$

Paso 2.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 = 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 2 y + 2 d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + 2 x + C$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y x$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.4

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Combina los términos.

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Paso 8.6.1.1

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.6.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6 + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $- 2 y^{2} + 6$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 2 y^{2} + 6$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y + \int 6 d y$

Paso 10.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y + \int 6 d y$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 6 d y$

Paso 10.6

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 6 y + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 6 y + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (y) = \frac{- 2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Paso 10.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Paso 10.10

Simplifica.

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Paso 10.10.1

Reordena los términos.

$g (y) = - (\frac{2}{3} y^{3}) + 6 y + C$

Paso 10.10.2

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + 6 y + C$

Paso 12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$