Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\csc (y)$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\csc (y)$ de $\cos (x) \csc (y)$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sin (x) + K = - \cos (y)$ .

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

Paso 3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

Paso 3.4

Reescribe la ecuación como $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ .

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Paso 3.5

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\cos (y)$ del interior del arcoseno.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Paso 3.6

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Paso 3.7

Divide cada término en $- \cos (y) = \sin (x) + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.7.1

Divide cada término en $- \cos (y) = \sin (x) + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.7.2.2

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.7.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.7.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Paso 3.7.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Paso 3.8

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Paso 3.9

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Paso 3.10

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\cos (y)$ del interior del arcoseno.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Paso 3.11

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Paso 3.12

Divide cada término en $- \cos (y) = \sin (x) + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.12.1

Divide cada término en $- \cos (y) = \sin (x) + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.12.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.12.2.2

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.12.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.12.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Paso 3.12.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Paso 3.13

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$