Cálculo Ejemplos

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 7 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$y d y = (x^{2} - 7 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int x^{2} - 7 x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 7 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 7 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{7}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $2$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $- 7 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 7 x^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.3.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 7 x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.3.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.4

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.5.1

Combina $2 K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.3

Mueve $- 21$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.4.1

Mueve $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.6.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.6.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.9.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.9.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.4.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4.9.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.9.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.4.9.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.4.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Paso 3.4.11

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$