Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{e^{y}}$ y $\cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $e^{y}$ de $9 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = 9 \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int 9 \cos (x) d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 9 \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 9 \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = 9 (\sin (x) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = 9 \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = 9 \sin (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (9 \sin (x) + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (9 \sin (x) + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (9 \sin (x) + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (9 \sin (x) + K)$