Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Paso 2.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Paso 3.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.3.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Paso 3.3.3.2.3

Multiplica $t^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Paso 4.4

Factoriza $2$ de $2 t^{3} + 2 K$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Paso 4.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Paso 4.4.3

Factoriza $2$ de $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Paso 5

Como $y$ no es negativa en la condición inicial $(2, 0)$ , solo considera $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $2$ por $t$ y $0$ por $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ como ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Multiplica.

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Paso 6.3.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.1.3.2

Simplifica.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Paso 6.4

Resuelve $K$

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Paso 6.4.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$2 K = - 16$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $2 K = - 16$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $2 K = - 16$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Divide $- 16$ por $2$ .

$K = - 8$

Paso 7

Sustituye $- 8$ por $K$ en $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 8$ por $K$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Paso 7.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Paso 7.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = t$ y $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Paso 7.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$