Cálculo Ejemplos

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} + y^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.5

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x = - 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x y$ por $M$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{y}$

Paso 4.3.4

Sustituye $x y$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Combina $x$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $- (x^{2} + y^{2})$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $- x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.10

Reescribe $- (x^{2} + y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{1}{y^{2}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $2$ por $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.4

Combina $\frac{1}{2 y^{2}}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 11.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.11

Combina $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ y $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.12

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Suma $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Suma $0$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2}}{y^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y^{3}$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.1.5.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y} = 0$

Paso 12.1.2

Resta $\frac{1}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Paso 13.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Paso 13.5

Simplifica.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln (| y |) + C$