Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $\frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $16$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{1} + K = 0$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{9} \cdot 4 + K = 0$

Paso 4.2.5

Multiplica $\frac{2}{9} \cdot 4$ .

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Paso 4.2.5.1

Combina $\frac{2}{9}$ y $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{9} + K = 0$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + K = 0$

Paso 4.3

Resta $\frac{8}{9}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - \frac{8}{9}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{8}{9}$ por $K$ en $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{8}{9}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{9}$

Paso 5.2

Combina $\frac{2}{9}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{8}{9}$