Cálculo Ejemplos

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Paso 1

Resta $(y + 4) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x d y = - (y + 4) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y + 4$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (y + 4)}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y + 4$ de $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = y + 4$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = y + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 4.2.1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Paso 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Paso 5.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (| y x + 4 x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Paso 5.7

Resuelve $y$

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Paso 5.7.1

Reescribe la ecuación como $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Paso 5.7.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Paso 5.7.3

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Paso 5.7.4

Divide cada término en $y x = \pm e^{C} - 4 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.7.4.1

Divide cada término en $y x = \pm e^{C} - 4 x$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Paso 5.7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Paso 5.7.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Paso 5.7.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.7.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Paso 5.7.4.3.1.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{x} - 4$