Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $P$ de $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Factoriza $P$ de $\frac{1}{10} P$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.1.2

Factoriza $P$ de $- \frac{1}{5000} P^{2}$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.1.3

Factoriza $P$ de $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $P$ y $\frac{1}{5000}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.3

Para escribir $\frac{1}{10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $5000$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.4.2

Multiplica $10$ por $500$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.2

Combina $P$ y $\frac{500 - P}{5000}$ .

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $\frac{5000}{P (500 - P)}$ por $1$ .

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.2

Dado que $5000$ es constante con respecto a $P$ , mueve $5000$ fuera de la integral.

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.3

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.3.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.3.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $P (500 - P)$ .

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.3

Cancela el factor común de $P$ .

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Paso 2.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.4

Cancela el factor común de $500 - P$ .

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Paso 2.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.5.1

Cancela el factor común de $P$ .

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Paso 2.2.3.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.1.2

Divide $A (500 - P)$ por $1$ .

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.3

Mueve $500$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.5

Cancela el factor común de $500 - P$ .

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Paso 2.2.3.1.5.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

Paso 2.2.3.1.5.5.2

Divide $(B) (P)$ por $1$ .

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

Paso 2.2.3.1.6

Mueve $500 A$ .

$1 = - A P + B P + 500 A$

Paso 2.2.3.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.3.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $P$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.3.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $P$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 500 A$

Paso 2.2.3.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Paso 2.2.3.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.3.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 500 A$ .

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Paso 2.2.3.3.1.1

Reescribe la ecuación como $500 A = 1$ .

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.3.3.1.2

Divide cada término en $500 A = 1$ por $500$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.3.1.2.1

Divide cada término en $500 A = 1$ por $500$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.3.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $500$ .

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Paso 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.3.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{500}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.3.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.2.2.1

Reescribe $- 1 (\frac{1}{500})$ como $- (\frac{1}{500})$ .

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{500} + B$ .

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Paso 2.2.3.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{500} + B = 0$ .

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.3.3.2

Suma $\frac{1}{500}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Paso 2.2.3.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Paso 2.2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.2.3.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Paso 2.2.3.5.2

Multiplica $\frac{1}{500}$ por $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Paso 2.2.3.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

Paso 2.2.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{500}$ por $\frac{1}{500 - P}$ .

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{500}$ es constante con respecto a $P$ , mueve $\frac{1}{500}$ fuera de la integral.

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{P}$ con respecto a $P$ es $\ln (| P |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Paso 2.2.7

Dado que $\frac{1}{500}$ es constante con respecto a $P$ , mueve $\frac{1}{500}$ fuera de la integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

Paso 2.2.8

Sea $u = 500 - P$ . Entonces $d u = - d P$ , de modo que $- d u = d P$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.8.1

Deja $u = 500 - P$ . Obtén $\frac{d u}{d P}$ .

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Paso 2.2.8.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.8.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Paso 2.2.11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Paso 2.2.12

Simplifica.

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $500 - P$ .

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.14

Simplifica.

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Paso 2.2.14.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.14.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.14.3

Cancela el factor común de $500$ .

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Paso 2.2.14.3.1

Factoriza $500$ de $5000$ .

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.14.3.2

Cancela el factor común.

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.14.3.3

Reescribe la expresión.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

Paso 3

Resuelve $P$

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Paso 3.1

Divide cada término en $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ por $1$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Paso 3.2

Para resolver $P$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

Paso 3.4

Resuelve $P$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Paso 3.4.2

Multiplica ambos lados por $| 500 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común de $| 500 - P |$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Paso 3.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Paso 3.4.4

Resuelve $P$

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Paso 3.4.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

Paso 3.4.4.2

Divide cada término en $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ por $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.2.1

Divide cada término en $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ por $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Paso 3.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Paso 3.4.4.2.2.1.2

Divide $| 500 - P |$ por $1$ .

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Paso 3.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Paso 3.4.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Paso 3.4.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Paso 3.4.4.5

Resuelve $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ en $P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.1

Multiplica ambos lados por $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.1.1

Simplifica $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Reordena $t$ y $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Reordena $t$ y $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Reordena $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ y $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

Paso 3.4.4.5.3

Resuelve $P$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.1

Resta $P$ de ambos lados de la ecuación.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

Paso 3.4.4.5.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $P$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.2.1

Resta $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.2.2

Divide la fracción $\frac{C + t}{10}$ en dos fracciones.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.3

Factoriza $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.3.1

Factoriza $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.3.2

Factoriza $P$ de $- P$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.3.3

Factoriza $P$ de $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.4

Reescribe $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ como $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.5.3.5

Divide cada término en $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.5.1

Divide cada término en $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Reescribe $- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ como $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Multiplica $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ por $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6

Resuelve $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ en $P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.1

Multiplica ambos lados por $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.1.1

Simplifica $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Reordena $t$ y $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Reordena $t$ y $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Reordena $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ y $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ al numerador.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Paso 3.4.4.6.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

Paso 3.4.4.6.3

Resuelve $P$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.1

Suma $P$ a ambos lados de la ecuación.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

Paso 3.4.4.6.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $P$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.2.1

Resta $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.2.2

Divide la fracción $\frac{C + t}{10}$ en dos fracciones.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.3

Factoriza $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.3.1

Factoriza $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.3.2

Eleva $P$ a la potencia de $1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.3.3

Factoriza $P$ de $P^{1}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.3.4

Factoriza $P$ de $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.4

Reescribe $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ como $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Paso 3.4.4.6.3.5

Divide cada término en $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.5.1

Divide cada término en $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Reescribe $- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ como $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Multiplica $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ por $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Paso 3.4.4.7