Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 5$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 5 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{5 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{5 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{5 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6.3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Paso 6.3.4

Combina $2$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Paso 6.3.5

Combina $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ y $x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Paso 6.4

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Paso 6.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 6.6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Paso 6.6.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Paso 6.8

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.8.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.8.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 6.8.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 6.8.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 6.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Paso 6.9

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Paso 6.10

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Paso 6.11

Simplifica.

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Paso 6.11.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Paso 6.11.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Paso 6.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Paso 6.13

Reescribe $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ como $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Paso 6.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

Paso 6.15

Reordena los términos.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $x$ y $\frac{2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Paso 7.1.2

Combina $e^{5 x}$ y $\frac{x \cdot 2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Paso 7.1.3

Elimina los paréntesis.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ por $e^{5 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{5 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{5 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{5 x}$ de $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{5 x}$ de $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.4

Factoriza $e^{5 x}$ de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.5

Factoriza $e^{5 x}$ de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.5

Para escribir $\frac{x^{2}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1.1.6.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.6.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.8.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ .

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Paso 7.2.3.1.1.8.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \cdot 5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.8.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.8.1.3

Factoriza $x$ de $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.8.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.9

Para escribir $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $125$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1.1.10.1

Multiplica $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.10.2

Multiplica $25$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1.1.12.4.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.12.7

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.13

Combina exponentes.

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Paso 7.2.3.1.1.13.1

Combina $\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ y $7$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.13.2

Combina $\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ y $e^{5 x}$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.14

Mueve $7$ a la izquierda de $25 x^{2} - 10 x + 2$ .

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Cancela el factor común de $e^{5 x}$ .

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Paso 7.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.2

Para escribir $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.3

Para escribir $\frac{C}{e^{5 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Paso 7.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $125 e^{5 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Multiplica $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ por $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Paso 7.2.3.4.2

Multiplica $\frac{C}{e^{5 x}}$ por $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

Paso 7.2.3.4.3

Reordena los factores de $e^{5 x} \cdot 125$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 7.2.3.6.2.1

Multiplica $25$ por $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6.2.2

Multiplica $- 10$ por $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6.2.3

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Paso 7.2.3.6.4

Mueve $125$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$