Cálculo Ejemplos

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sea $u = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Deja $u = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 4.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

Paso 5.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 5.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 5.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Paso 5.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

Paso 6.2

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

Paso 6.3

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

Paso 6.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$