Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 16) \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 16 \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Paso 1.1.2

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + 16 \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $16 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 16 = - x y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 16$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 16) = - x y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 16) = - x y$ por $x^{2} + 16$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 16) = - x y$ por $x^{2} + 16$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 16)}{x^{2} + 16} = \frac{- x y}{x^{2} + 16}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 16$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 16)}{x^{2} + 16} = \frac{- x y}{x^{2} + 16}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{x^{2} + 16}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{x^{2} + 16}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 16} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{x^{2} + 16} y)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 16} y)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 16} y)$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $y$ de $\frac{x}{x^{2} + 16} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 16})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 16})$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x^{2} + 16}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x^{2} + 16} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 16} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 16} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 16} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} + 16$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} + 16$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 16$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 16$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 16 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 16 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\ln (| x^{2} + 16 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 16 |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.3

Para escribir $\ln (| y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $\ln (| y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 16 |)}{2}$ .

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Paso 3.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 16 |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 16 |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 16 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 16 |) = C$

Paso 3.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 16 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} + 16 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.4

Aplica la regla del producto a $y^{2} | x^{2} + 16 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (y^{1} {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.6

Simplifica.

$\ln (y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Paso 3.9.2

Divide cada término en $y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Divide cada término en $y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y {| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.9.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 16 |}^{\frac{1}{2}}}$