Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Paso 1.1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Paso 1.1.3.2

Eleva $\frac{d y}{d x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.5.1

Reescribe $- (y^{2} + 1)$ como $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.1.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Paso 3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Paso 3.3

Divide cada término en $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide $\arctan (x)$ por $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \arctan (y)$ como $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Paso 3.3.3.1.4

Divide $K$ por $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Paso 3.4

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Paso 3.5

Reescribe la ecuación como $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Paso 3.6

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Paso 3.7

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Paso 3.8

Divide cada término en $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.8.1

Divide cada término en $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.8.2.2

Divide $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.8.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \arctan (x)$ como $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.8.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Paso 3.8.3.1.4

Divide $K$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Paso 3.9

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Paso 3.10

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Paso 3.11

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Paso 3.12

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Paso 3.13

Divide cada término en $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.13.1

Divide cada término en $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.13.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.13.2.2

Divide $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.13.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \arctan (x)$ como $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 3.13.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Paso 3.13.3.1.4

Divide $K$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Paso 3.14

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$