Cálculo Ejemplos

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $a^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $a^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

Paso 1.5

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

Paso 2.3

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

Paso 2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

Paso 2.4.2

Suma $x y$ y $y x$ .

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Paso 2.4.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

Paso 2.4.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.8

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.11

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

Paso 2.12

Suma $2 x + 2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

Paso 2.13.2

Combina los términos.

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Paso 2.13.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

Paso 2.13.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x - 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

Paso 5.2

Sea $u = x + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = x + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 5.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 5.4

Reescribe $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 8.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.9

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.10

Combina $\frac{- 3}{3}$ y ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 8.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 3 {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.3.11.2.4

Divide $- {(x + y)}^{2}$ por $1$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Suma ${(x + y)}^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.4

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.5

Dado que $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2 y$ fuera de la integral.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.7

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Paso 10.9

Sea $u = x + y$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.9.1

Deja $u = x + y$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.9.1.1

Diferencia $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 10.9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 10.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 10.9.1.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

Paso 10.10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 10.11

Simplifica.

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 10.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Paso 12

Combina los términos opuestos en $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

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Paso 12.1

Suma $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ y $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

Paso 12.2

Suma $a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ y $0$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$