Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $12$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 2.3.4.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.4.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 \sin^{3} (0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Paso 4.2.1.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 3$

Paso 5

Sustituye $3$ por $K$ en $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3$ por $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$