Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $- 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Paso 6.2

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 6.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia.

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Paso 6.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 6.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

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Paso 6.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 6.2.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6.4

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Paso 6.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.5.1

Simplifica.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Paso 6.5.2

Simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Paso 6.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Paso 6.5.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{u_{2}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2 u_{2}}{2} + C$

Paso 6.5.2.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.5.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2} + C$

Paso 6.5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 (1)} + C$

Paso 6.5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 6.5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- u_{2}}{1} + C$

Paso 6.5.2.4.2.4

Divide $- u_{2}$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - u_{2} + C$

Paso 6.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ por $e^{- x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$