Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Paso 1

Suma $2 x e^{- x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 2.2

Integra $2 x$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Paso 3.4

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $e^{- x^{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Paso 3.4.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Paso 3.5

Simplifica $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Paso 3.6

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$