Cálculo Ejemplos

$x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{5} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $\frac{1}{5} x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{1}{5} x$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{1}{5} x$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{1}{5} x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{3} x$

Paso 3.4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x \cdot x^{3})$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x^{1} x^{3})$

Paso 3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{1 + 3}$

Paso 3.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{4}$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{4}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{4}}{5}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{x^{4}}{5}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$x^{3} y = \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $\frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $\frac{1}{25} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{25} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{25} x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{25}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{25} + \frac{C}{x^{3}}$